CONCEPTO DE TRABAJO EN FISICA

En mecánica clásica, se dice que una fuerza realiza un trabajo cuando hay un desplazamiento de su punto de aplicación en la dirección de dicha fuerza. El trabajo de la fuerza sobre ese cuerpo será equivalente a la energía necesaria para desplazarlo​. Por consiguiente, se dice que una cierta masa tiene energía cuando esa masa tiene la capacidad de producir un trabajo; además, con esta afirmación se deduce que no hay trabajo sin energía. Por ello, se dice que el carbón, la gasolina, la electricidad, los átomos son fuentes de energía, pues pueden producir algún trabajo o convertirse en otro tipo de energía; para entender esto se tiene en cuenta el principio universal de la energía según el cual la energía no se crea ni se destruye, solamente se transforma.

En sistemas conservativos, la energía mecánica se conserva. Si se consideran fuerzas de rozamiento, parte de la energía se disipa por ejemplo en forma de calor debido al trabajo de las fuerzas de rozamiento.

El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra ${\displaystyle \ W}$ (del inglés Work) y se expresa en unidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades.

Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía,​ nunca se refiere a él como incremento de trabajo, ni se simboliza como ΔW

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Consideremos una partícula ${\displaystyle P}$ sobre la que actúa una fuerza ${\displaystyle F}$, función de la posición de la partícula en el espacio, esto es ${\displaystyle F=F(\mathbf {r} )}$ y sea ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$ un desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo ${\displaystyle \mathrm {d} t}$. Llamamos trabajo elemental, ${\displaystyle \mathrm {d} W}$, de la fuerza ${\displaystyle \mathbf {F} }$ durante el desplazamiento elemental ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$ al producto escalar ${\displaystyle \ F\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$; esto es,

${\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,}$

Si representamos por ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ la longitud de arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental, esto es ${\displaystyle \mathrm {d} s=|\mathrm {d} \mathbf {r} |}$ , entonces el vector tangente a la trayectoria viene dado por ${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{t}}=\mathrm {d} \mathbf {r} /\mathrm {d} s}$ y podemos escribir la expresión anterior en la forma

${\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {e} _{\text{t}}\mathrm {d} s=(F\cos \theta )\mathrm {d} s=F_{\text{s}}\mathrm {d} s\,}$

donde ${\displaystyle \theta }$ representa el ángulo determinado por los vectores ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$ y ${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{t}}}$ y ${\displaystyle F_{\text{s}}}$ es la componente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$.

El trabajo realizado por la fuerza ${\displaystyle \mathbf {F} }$ durante un desplazamiento elemental de la partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva, nula o negativa, según que el ángulo ${\displaystyle \theta }$ sea agudo, recto u obtuso.

Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$ y el trabajo total realizado por la fuerza ${\displaystyle \mathbf {F} }$ en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea

${\displaystyle W_{\text{AB}}=\int _{\text{A}}^{\text{B}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,}$

Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ a lo largo de la curva ${\displaystyle C}$ que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sobre la curva ${\displaystyle C}$ entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar que dependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la fuerza ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del camino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada. Así, podemos afirmar que el trabajo no es una variable de estado.

Casos particulares[editar]

Fuerza constante sobre una partícula

En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en módulo, dirección⁴​ y sentido⁵​), se tiene que

${\displaystyle W_{\text{AB}}=\int _{\text{A}}^{\text{B}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \int _{\text{A}}^{\text{B}}\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =Fs\cos \theta }$

es decir, el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posición inicial y la final. Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo también será nulo.

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre ella, entonces ${\displaystyle \mathbf {F} }$ representará al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

Trabajo sobre un sólido rígido

Para el caso de un sólido el trabajo total sobre el mismo se calcula sumando las contribuciones sobre todas las partículas. Matemáticamente ese trabajo puede expresarse como integral:

${\displaystyle W=\int _{V}\mathrm {d} V\int _{T_{0}}^{T_{f}}\mathbf {f} _{V}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} )\mathrm {d} t}$

Si se trata de un sólido rígido las fuerzas de volumen ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} _{V}}$ puede escribirse en términos de la fuerza resultante ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} _{R}}$, el momento resultante ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {M} _{R}}$, la velocidad del centro de masas ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {V} _{CM}}$ y la velocidad angular ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\omega }}}$:

${\displaystyle W=\int _{T_{0}}^{T_{f}}\left(\mathbf {F} _{R}\cdot \mathbf {v} _{CM}+\mathbf {M} _{R}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathrm {d} t}$

Trabajo y energía cinética[editar]

Para el caso de una partícula tanto en mecánica clásica como en mecánica relativista es válida la siguiente expresión:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$

Multiplicando esta expresión escalarmente por la velocidad e integrando respecto al tiempo se obtiene que el trabajo realizado sobre una partícula (clásica o relativista) iguala a la variación de energía cinética:

${\displaystyle W=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \mathrm {d} t=\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {p} =\Delta E_{c}}$

Esta expresión es válida tanto en mecánica clásica como relativista, aunque dada la diferente relación entre el momento lineal y la velocidad en ambas teorías la expresión en términos de la velocidad es ligeramente diferente:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {p} =m\mathbf {v} ,&{\mbox{mec. clasica}}\\\mathbf {p} ={\cfrac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},&{\mbox{mec. relativista}}\end{cases}}\Rightarrow \int \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {p} =\Delta E_{c}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}mv^{2},&{\mbox{mec. clasica}}\\{\cfrac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},&{\mbox{mec. relativista}}\end{cases}}}$